Tytuł oryginału: Geometry: A Very Short Introduction

Rada Naukowa serii Krótkie Wprowadzenie

Jerzy Gajdka, Ewa Gajewska, Krystyna Kujawińska Courtney, Aneta Pawłowska, Piotr Piotrowski, Maciej Potz, Piotr Stalmaszczyk Wojciech Woźniak

Redaktorzy inicjujący serii Krótkie Wprowadzenie

Monika Borowczyk, Urszula Dzieciątkowska, Agnieszka Kałowska-Majchrowicz

Tłumaczenie

Iwona Konarzewska

Opracowanie redakcyjne

Damian Szandecki

Skład i łamanie

Munda – Maciej Torz

Korekta techniczna

Elżbieta Pich

Projekt okładki

Monika Rawska

Geometry: A Very Short Introduction was originally published in English in 2022. This translation is published by arrangement with Oxford University Press. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego is solely responsible for this translation from the original work and Oxford University Press shall have no liability for any errors, omissions or inaccuracies or ambiguities in such translation or for any losses caused by reliance thereon

© Maciej Dunajski 2022

The moral rights of the author have been asserted

© Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2025

© Copyright for Polish translation by Iwona Konarzewska, Łódź 2025

https://doi.org/10.18778/8331-906-3

Publikacja sfinansowana ze środków Wydawnictwa Uniwersytetu Łódzkiego

Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

Wydanie I. W.11748.25.0.M

Ark. wyd. 5,7; ark. druk. 10,625

ISBN 978-83-8331-905-6

e-ISBN 978-83-8331-906-3

Paperback ISBN Oxford University Press ISBN 978–0–19–968368–0

Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

90-237 Łódź, ul. Jana Matejki 34A

www.wydawnictwo.uni.lodz.pl

e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl

tel. 42 635 55 77

Spis treści

Wstęp

Wstęp do wydania polskiego

Spis ilustracji

1. Czym jest geometria?

2. Geometria euklidesowa

3. Geometria nieeuklidesowa

4. Geometria przestrzeni zakrzywionych

5. Geometria rzutowa

6. Inne geometrie

7. Geometria świata fizycznego

Dalsze lektury

Indeks

Wstęp

Geometria ma co najmniej 2500 lat i to właśnie w ramach tej dziedziny po raz pierwszy pojawiło się pojęcie dowodu matematycznego, to jest dedukcyjnego rozumowania na podstawie zbioru aksjomatów. Geometria stanowi również bardzo aktywny obszar badawczy w matematyce, ale w ciągu kilku ostatnich dekad stopniowo znikała z sylabusów w szkołach wyższych w Zjednoczonym Królestwie i poza nim. Niniejsza książka stanowi próbę ożywienia tego tematu.

Przechodzę od konkretnych przykładów (obiektów matematycznych, takich jak bryły platońskie, lub twierdzeń, takich jak twierdzenie Pitagorasa) do zasad ogólnych. Zakładam niewielką wcześniejszą wiedzę matematyczną czytelnika – wystarczy poziom szkoły średniej – ale podczas czytania powinien on chcieć używać ołówka, papieru, kompasu i linijki. Geometria wyróżnia się spośród innych gałęzi matematyki tym, że dowód twierdzenia można w niej przedstawić w sposób obrazowy, bez konieczności stosowania algebry, ale jednocześnie bez uszczerbku dla formalnych rygorystycznych zasad precyzji.

Nie używałem rachunku różniczkowego i starałem się unikać zbyt dużej ilości algebry. Wyjątkiem jest rozdział 6, w którym od czasu do czasu pojawiają się macierze. Mam nadzieję, że korzyści będą duże, ponieważ czytelnik będzie w stanie docenić związek między współczesną geometrią a symetrią, ale ten rozdział nie jest konieczny do zrozumienia pozostałej części książki.

Rozdział 2 dotyczy geometrii euklidesowej i najlepiej przeczytać go przed którymkolwiek z późniejszych rozdziałów, z których każdy koncentruje się na modyfikacji różnych postulatów Euklidesa. Rozdział 4, wprowadzający przestrzenie zakrzywione, należy przeczytać przed rozdziałem 7, w którym krzywizna pojawia się w kontekście teorii grawitacji Einsteina. Rozdział 5, pokazujący geometrię pod wieloma względami w jej najlepszym wydaniu, spodoba się każdemu, kto chce wejść w sferę geometrii z perspektywy sztuki renesansowej.

Podczas pisania tej książki korzystałem z własnych notatek do popularnych wykładów geometrii, które prowadziłem dla studentów ubiegających się o przyjęcie na Uniwersytet Cambridge. Jestem wdzięczny Nickowi Woodhouse’owi za jego wyrazy zachęty na wczesnych etapach tego projektu, Lacie Menon i Robinowi Wilsonowi za przeczytanie wcześniejszych szkiców i zasugerowanie zmian, które zaowocowały kilkoma ulepszeniami. Chciałbym również podziękować Rogerowi Penrose’owi – za podzielenie się ze mną swoim geometrycznym spojrzeniem na naukę oraz za wprowadzenie mnie w klasyczną geometrię rzutową. Przede wszystkim zaś wyrażam wdzięczność Adamowi Dunajskiemu – za uważną lekturę manuskryptu i krytyczne uwagi, a także za przygotowanie wszystkich zamieszczonych w książce rysunków.

Wstęp do wydania polskiego

Chciałbym serdecznie podziękować Wydawnictwu Uniwersytetu Łódzkiego za przetłumaczenie mojej książki na język polski i zaprezentowanie jej polskim czytelnikom. To książka o geometrii – dziedzinie matematyki, którą rozumiemy jako system twierdzeń pewnych i niezmiennych, nie zaś teorii pełnych luk i hipotez.

Zdaję sobie sprawę, że w dobie pogoni za sensacją i nieznanym nie jest to najlepszą zachętą do lektury. Ludzie pragną wiedzieć o najnowszych próbach unifikacji teorii grawitacji z mechaniką kwantową, a nawet zrozumieć matematyczne zawiłości takich prób. Interesuje ich raczej to, czego nauka nie wie, niż to, co w końcu udało nam się dobrze zrozumieć. Wykłady popularne o tytułach Czy Wszechświat jest komputerem kwantowym? lub Podróże w czasie są możliwe: nowa matematyka obala teorie Einsteina doczekają się dziesiątek tysięcy kliknięć w internecie. Wykład Jak Ziemia porusza się w polu grawitacyjnym Słońca? będzie zapewne mniej chwytliwy. Dwa pierwsze wykłady będą składać się w najlepszym razie ze spekulacji, których nie-specjaliści nie będą w stanie odróżnić od rzetelnej wiedzy, natomiast trzeci, o ile wykładowca się do niego przyłoży, pokaże triumf myśli ludzkiej najwyższego kalibru: setki lat obserwacji astronomicznych połączonych z postępem w matematyce, które doprowadziły Keplera i Newtona do geometrycznej teorii trajektorii eliptycznych, a potem Einsteina do jej subtelnej i jeszcze bardziej geometrycznej modyfikacji, przepięknej matematycznie i potwierdzonej empirycznie.

Moim celem w tej książce jest próba zainteresowania Państwa tym, co wiemy o geometrii. Tu i tam wspominam również o tym, czego nie wiemy – to tak zwane problemy otwarte – ale staram się opierać na solidnych podstawach, w ramach których można przynajmniej ściśle sformułować tego rodzaju problemy. Jest to szczególnie widoczne w rozdziale 7, gdzie przedstawiam zagadnienie czarnych dziur w geometrycznym ujęciu teorii grawitacji Einsteina.

Moje zadanie jest tym trudniejsze, że geometria nie jest naszą narodową specjalnością. Lwowska szkoła matematyczna skupiona w latach międzywojennych wokół wybitnego polskiego matematyka Stefana Banacha zajmowała się analizą funkcjonalną. Współczesne podręczniki z tej dziedziny, które polecam moim studentom w Cambridge, pełne są twierdzeń nazwanych polskimi imionami. Szkoła warszawska, której liderami byli między innymi Wacław Sierpiński i Kazimierz Kuratowski, prowadziła badania w zakresie logiki i tego, co dzisiaj zwykło się określać podstawami matematyki. Możemy być niezmiernie dumni z polskich osiągnięć w tej dziedzinie. To tło historyczne miało wpływ na programy nauczania matematyki w szkołach podstawowych i średnich. Mój rocznik (matura w 1990 roku w łódzkim Liceum im. Mikołaja Kopernika – Kopernik to może najbardziej znany polski geometra) był faszerowany teorią zbiorów i podstawami matematyki od pierwszej klasy szkoły podstawowej – to zapewne wpływ szkoły warszawskiej. Później uczyliśmy się znienawidzonych granic ciągów, „epsilonów i delt”, a także tak zwanych tasiemców (to upraszczanie skomplikowanych wyrażeń algebraicznych). Moja żona twierdzi, że tylko dzięki opanowaniu tasiemców dostała się do liceum. To wstęp do analizy, a zatem wpływ szkoły lwowskiej. Czy ktoś z Państwa pamięta naukę metod obliczania objętości ostrosłupa? Albo przepięknych twierdzeń o trójkątach opisanych na okręgu? Ja nie. Taka staromodna matematyka nie była i nie jest w modzie.

Zapraszam więc Państwa do studiów własności kwadratów, okręgów i trójkątów, ale też bardziej egzotycznych kształtów, takich jak aperiodyczny parkietaż Penrose’a. W dalszych rozdziałach zerwiemy z aksjomatami Euklidesa, co da nam szanse zrozumieć geometrię hiperboliczną, a także geometryczne podstawy perspektywy. To fascynujące i elementarne dziedziny geometrii, o których nie uczyliśmy się w szkole, mimo że ich zrozumienie nie wymaga żadnych wzorów lub operacji algebraicznych. Jeszcze bardziej fascynujące jest to, że geometria to klucz do zrozumienia najdziwniejszych obiektów we Wszechświecie: czarnych dziur, a być może też ukrytych w nich osobliwości. Mam nadzieję, że ta książka pozwoli Państwu dostrzec piękno tej dziedziny matematyki.

Maciej Dunajski

Tulum, wrzesień 2025

Spis ilustracji

1. Twierdzenie Pitagorasa

2. Dowód twierdzenia Pitagorasa

3. Granica okręgu IV (M. C. Escher). Model geometrii hiperbolicznej

M. C. Escher’s “Circle Limit IV”

© 2021 The M. C. Escher Company-The Netherlands.

All rights reserved. www.mcescher.com

4. Ostatnia Wieczerza. Wszystkie linie równoległe przecinają się w jednym punkcie

Leonardo da Vinci / Wikipedia

5. Twierdzenie Brianchona

6. 𝜋 nie jest równe 3

7. Piąty aksjomat Euklidesa

8. Aksjomat równoległości

9. Kąty przeciwległe

10. Podział kąta na połowy

11. Podział odcinka na trzy równe części

12. Dwa przystające wielokąty powiązane sekwencją przekształceń izometrycznych: odbicie względem linii l, obrót wokół punktu O i przesunięcie

13. Metryka „British Rail”

14. Wielokąt wypukły i nie-wypukły (wklęsły)

15. Suma kątów w trójkącie

16. Podział n-kąta

17. Heksagonalna struktura plastra miodu

Grzecznościowo: Dr Daniel Twitchen

18. Kafelkowanie płaszczyzny

19. Aperiodyczne kafelki Penrose’a oraz ich reguły dopasowania

20. Pięć brył platońskich

21. Obliczenie pola trójkąta

22. Wiedźma Agnesi

23. Współrzędne kartezjańskie punktu

24. Dodawanie wektorów

25. Rozwiązanie problemu Sylvestera

26. Liczba chromatyczna płaszczyzny jest równa co najwyżej 7

27. Wielki okrąg

28. Trójkąt sferyczny

29. Odwzorowanie Mercatora

30. Luna sferyczna

31. Linie hiperboliczne

32. Konstrukcja linii hiperbolicznej

33. Nieskończenie wiele linii równoległych

34. Odległość hiperboliczna

35. Odległości hiperboliczna i euklidesowa od środka dysku

36. Granica okręgu IV (M. C. Escher)

M. C. Escher’s “Circle Limit IV”

© 2021 The M.C. Escher Company-The Netherlands.

All rights reserved. www.mcescher.com

37. Trójkąt hiperboliczny

38. Kafelkowanie za pomocą trójkątów idealnych

39. Kafelkowanie za pomocą regularnych siedmiokątów

40. Traktrysa i pseudosfera

41. Model Beltramiego

42. Zewnętrzna krzywizna krzywej

43. Okrąg oskulacyjny (krzywiznowy)

44. Krzywizna paraboli y = x^2 wynosi κ = 2(1 + 4x^2)–3/2

45. Krojenie powierzchni

46. Krzywizna Gaussa

47. Powierzchnia o genusie 3

48. Rzutowanie stereograficzne. Dwa punkty: P i Q, znajdują się blisko siebie na sferze, ale ich obrazy, P′ i Q′, są daleko od siebie na płaszczyźnie

49. Wektor styczny na płaszczyźnie stycznej

50. Długość krzywej

51. (a) Duccio di Buoninsegna (ok. 1310), Pojmanie Jezusa

Duccio di Buoninsegna / Wikipedia

(b) Canaletto (ok. 1730), Dziedziniec wewnętrzny Pałacu Dożów

© Fitzwilliam Museum / Bridgeman Images

52. Maszyna perspektywiczna z Podręcznika malarza Albrechta Dürera (1525)103

Bridgeman Images

53. Rzut linii prostej na linię prostą

54. Rzut z płaszczyzny na płaszczyznę

55. Twierdzenie Desarguesa

56. Punkty i linie proste na płaszczyźnie rzutowej

57. Przekroje stożkowe

58. „Kozia” definicja elipsy

59. Twierdzenie Pascala

60. Twierdzenie Ponceleta

61. Dualność rzutowa

62. Dualność względem krzywej stożkowej

63. Twierdzenie Briachona jest dualne względem twierdzenia Pascala

64. Twierdzenie Cevy

65. Transformacje kwadratu w różnych geometriach

66. Dwie czwórki punktów o takich samych ilorazach krzyżowych są powiązane przez transformację rzutową

67. Krzywe Fermata dla n = 2, 3 i 4

68. Wymierna parametryzacja okręgu

69. Stożek świetlny w czasoprzestrzeni

70. Linie geodezyjne są najdłuższymi ścieżkami

71. Równoczesność nie jest absolutna

72. Odległość w czasoprzestrzeni arystotelesowskiej i galileuszowskiej

73. Materia zakrzywiająca czasoprzestrzeń

74. Czarna dziura z przerywanymi pionowymi liniami przedstawiającymi horyzont zdarzeń

75. Grawitacyjne zapadanie się gwiazdy, w wyniku którego powstaje czarna dziura

Rozdział 1

Czym jest geometria?

W VI wieku p.n.e. grecki filozof Pitagoras z Samos i jego zwolennicy, pitagorejczycy, spędzali czas na odkrywaniu związków między liczbami a formami geometrycznymi. Przypisuje się im udowodnienie tego, co obecnie znane jest jako twierdzenie Pitagorasa: dla dowolnego trójkąta prostokątnego kwadrat przeciwprostokątnej c jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków a i b (rysunek 1).

Twierdzenie Pitagorasa stanowi wynik w geometrii – termin ten pochodzi od starożytnych greckich słów: geo, ‘ziemia’, i metron, ‘miara’ – gałęzi matematyki zajmującej się długościami, kształtami i powierzchniami. Geometria wyróżnia się spośród większości innych dziedzin matematyki tym, że dowód twierdzenia można przedstawić w sposób obrazowy, bez potrzeby stosowania algebry lub symboli matematycznych, ale jednocześnie bez uszczerbku dla precyzji (rysunek 2).

Chociaż przekonanie, że wszystkie trójkąty w lewym kwadracie można przekształcić w trójkąty w prawym kwadracie, może wymagać pewnych wyjaśnień, dowód jest zasadniczo samowystarczalny. Rzeczywiście, koncepcja dowodu matematycznego – rozumowania dedukcyjnego wyprowadzonego z zestawu aksjomatów – po raz pierwszy pojawiła się właśnie w geometrii. Aksjomaty to stwierdzenia, które są ewidentnie prawdziwe. Po raz pierwszy zostały one wymienione przez innego greckiego matematyka, Euklidesa, w jego Elementach – prawdopodobnie najbardziej wpływowym zbiorze książek matematycznych, jakie kiedykolwiek napisano.